Elastische Lösung einer oberflächenbelasteten Schicht mit Kopplungs- und Oberflächenspannungseffekten

Jan 31, 2024

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 1033 (2023) Diesen Artikel zitieren

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In dieser Studie wird eine elastische Lösung einer achsensymmetrisch oberflächenbelasteten dünnen Schicht, die auf einem starren Substrat ruht, unter Berücksichtigung der Oberflächenspannung und mikrostruktureller Effekte des Materials ermittelt. Abgeleitete Lösungen bieten nicht nur eine Möglichkeit, die Größeneffekte auf die mechanische Reaktion zu untersuchen, sondern auch eine Reihe grundlegender Lösungen, die für die Bewältigung von Kontaktproblemen im Mikro-/Nanomaßstab unerlässlich sind. In der Formulierung werden die Paarspannungs- und Oberflächenelastizitätstheorien übernommen, um die mikrostrukturierte Volumenschicht bzw. das Oberflächenmaterial zu simulieren. Eine allgemeine Lösung eines elastischen Feldes innerhalb der Volumenschicht wird zunächst durch die Hankel-Transformationsmethode erhalten und anschließend zusammen mit den Oberflächengleichungen und Randbedingungen verwendet, um einen Satz von Bedingungen zu bilden, die für die Bestimmung aller unbekannten Konstanten wesentlich sind. Nach vollständiger Prüfung mit verfügbaren Benchmark-Lösungen werden die Ergebnisse verwendet, um die Rolle von Oberflächen- und Kopplungsspannungen auf den Lastübertragungsmechanismus auf das Substrat und seine größenabhängigen Eigenschaften für einen weiten Bereich externer Längenskalen im Verhältnis zu den internen Längenskalen zu untersuchen.

Beschichtungen zur Verbesserung der Oberfläche und der Gesamteigenschaften von Objekten wurden in verschiedenen Disziplinen gefunden, darunter in der Lebensmittelwissenschaft (z. B. Lebensmittelverpackungen, Küchengeräte und Arbeitsplatten töten Bakterien/Mikroben usw. ab) und im Bauwesen (z. B. Innen- und Außenhaus). Farben, Innenausstattung, Glas- und Fassadenbeschichtungen für Hochhäuser usw.), Kostüme (z. B. schmutzabweisende Kleidung, Schutzanzüge usw.), Fahrzeuge und Strukturen (z. B. Raumfahrzeuge, Flugzeuge, Automobile, Brücken, Straßen). Markierungen, Seeschiffe usw.), eine Vielzahl industrieller und nichtindustrieller Wartungsbeschichtungen sowie zahlreiche elektronische und biomedizinische Produkte. In den letzten Jahren haben die Anwendungen der Nanotechnologie zur Verbesserung der Leistung von Oberflächenbeschichtungen erheblich zugenommen. Solche kontinuierlichen Entwicklungen und Anwendungen nanoskaliger Beschichtungen resultieren direkt aus der zunehmenden Verfügbarkeit nanoskaliger/nanostrukturierter Materialien und Fortschritten in den Beschichtungsprozessen. Beispielsweise können in Textilien eingebettete Silbernanopartikel geruchsverursachende Bakterien abtöten; Nanofaserbeschichtungen auf Textilien können das Eindringen von Flüssigkeiten verhindern; neuartige Nanomaterialien auf Stoffen können zudem Schweiß absorbieren und ableiten; und in Textilien eingebettete Titan-Nanopartikel können das Eindringen von UV-Strahlen durch den Stoff usw. verhindern1.

Es wurden umfangreiche Untersuchungen durchgeführt, um das grundlegende Verhalten von Mikro- und Nanostrukturen wie Mikro-/Nanostrukturen2,3, Platten4,5, Oberflächenbeschichtungen6,7,8 und Vertiefungen9,10 zu verstehen. Die meisten der vorhandenen Studien können basierend auf der zugrunde liegenden Methodik und dem verwendeten Verfahren in drei Hauptgruppen eingeteilt werden: eine im Zusammenhang mit experimentellen Untersuchungen11,12,13 und die anderen beiden in Bezug auf diskrete14,15,16,17,18 und kontinuumsbasierte Untersuchungen mathematische Modellierungen. In den letzten Jahrzehnten wurden zunehmend Simulationen auf der Grundlage kontinuumsbasierter mathematischer Modelle als praktikable Alternativen angeboten. Verschiedene größenabhängige Elastizitätstheorien, wie die Paarspannungstheorie19,20,21,22,23, die auf Dehnungsgradienten basierende Elastizitätstheorie24,25, die Oberflächenspannungselastizitätstheorie26,27,28 und die nichtlokale Elastizitätstheorie29,30 ,31, wurden vorgeschlagen, um den Einfluss materieller kleinräumiger Strukturen auf Kontinuumsbasis zu erklären. Obwohl die Ergebnisse und Erkenntnisse aus mathematischen Modellen erst ab der ersten/groben Antwortschätzung berücksichtigt werden, können diese vorhergesagten Trends verwendet werden, um vorläufige Daten für genauere Experimente bereitzustellen.

Grundlegende Probleme der Festkörpermechanik im Mikro-/Nanomaßstab werden ausführlich untersucht, insbesondere solche, die Oberflächenlasten und Kontakte betreffen. Mehrere Forschergruppen haben die größenabhängigen Effekte anhand verschiedener Theorien untersucht. Auf Paarspannungen basierende Theorien, bei denen ein zusätzliches Verformungsmaß namens Krümmung zusammen mit seinem konjugierten Paar, den sogenannten Paarspannungen, eingeführt wird, werden in der Literatur häufig verwendet, um den Einfluss von Materialmikrostrukturen kleiner Objekte zu simulieren. Die ursprüngliche (unbestimmte) Paarstresstheorie wurde von Mindlin und Tiersten19, Toupin20,21, Mindlin22 und Koiter23 vorgeschlagen und hat aufgrund ihrer Fähigkeit, Probleme auf Mikroebene anzugehen, bei Forschern Beachtung gefunden. Muki und Sternberg6 wandten die Theorie zunächst an, um die Rolle von Paarspannungen auf die Reaktion einer elastischen Halbebene unter Oberflächenlasten und einfachen Kontakten zu untersuchen. Seitdem wurden die Studien erheblich erweitert, um komplexere Szenarien zu behandeln, darunter Einrückungsprobleme32,33,34,35,36,37 und geschichtete Medien38,39,40,41,42. Die nichttriviale Erweiterung auf dreidimensionale Fälle wurde ebenfalls dokumentiert43,44,45,46. Dennoch ist die Zahl der Studien im Vergleich zu zweidimensionalen Problemen noch relativ gering.

Die Oberflächen-/Grenzflächenelastizitätstheorie ist eines der verfügbaren Frameworks, die weit verbreitet sind, um die mechanische Reaktion winziger Objekte zu simulieren, bei denen beobachtet wird, dass die freie Oberflächenenergie signifikant ist. Die solide mathematische Grundlage einer solchen Theorie wurde von Gurtin und seinen Mitarbeitern26,27,28 gelegt, indem sie der Grundidee von Gibbs folgten47 und ihre Modellierungsfähigkeit im Vergleich mit atomistischen und molekularen statischen Simulationen wurde durch mehrere Studien bestätigt48,49,50 . Im Kontext der Oberflächenmechanik sind Anwendungen dieser Theorie zur Untersuchung oberflächennaher Reaktionen ebenfalls gut anerkannt; zum Beispiel Probleme im Zusammenhang mit Halbebenen-, Halbraum- und Schichtmedien unter Oberflächenlasten (z. B. 7,8,51,52,53,54) und Oberflächenkontakten55,56,57,58,59,60,61,62. Ergebnisse bestehender Studien haben die signifikante Rolle sowohl der Restoberflächenspannung als auch der Oberflächenelastizität bei den vorhergesagten Reaktionen und den größenabhängigen Eigenschaften bestätigt, da die relevanten externen Längenskalen mit der intrinsischen Längenskala der Materialoberfläche vergleichbar werden. In solch kleinen Maßstäben ist die Notwendigkeit offensichtlich, die konventionelle, größenunabhängige Mechaniktheorie durch Modelle zu ersetzen, die Größeneffekte berücksichtigen können.

Während sowohl die Mikrostruktur von Massenmaterialien als auch die freie Oberflächenenergie als verantwortlich für die größenabhängigen Eigenschaften der Reaktion von homogenen und geschichteten Medien im Mikro-/Nanomaßstab betrachtet wurden, wird auf die Integration beider Effekte in den Simulationen innerhalb des Kontinuums hingearbeitet -basiertes Framework gibt es noch relativ wenige. Kürzlich haben Le et al.63 und Le et al.64 sowohl die Paarspannungs- als auch die Oberflächenelastizitätstheorie angewendet, um die größenabhängige Reaktion einer homogenen Halbebene zu untersuchen, die durch Oberflächenlasten bzw. geneigte flache Eindringkörper angeregt wird. Die Erweiterung zur Behandlung eines oberflächenbelasteten homogenen Halbraums, der sowohl Paar- als auch Oberflächenspannungen berücksichtigt, wurde von Lawongkerd et al.65 erreicht. In den oben genannten Studien wurde deutlich gezeigt, dass beide Effekte signifikant sind, wenn die internen Längenskalen der Massen- und Oberflächenmaterialien vergleichbar sind. Die gleichzeitigen Effekte müssen bei der Modellierung berücksichtigt werden, wenn die relevanten Außenlängenskalen in den Bereich der beiden Materiallängenskalen fallen. Während die Rolle sowohl der Oberflächen- als auch der Kopplungsspannungen in den oben genannten Untersuchungen ausführlich untersucht wurde, wurde das Medium entweder durch eine homogene Halbebene oder einen Halbraum modelliert, und solche vereinfachten Einstellungen stellen eindeutig eine wesentliche Einschränkung ihrer praktischen Anwendungen dar. Beispielsweise sind die wichtigsten Reaktionen und Eigenschaften von beschichteten Objekten mit einer sehr dünnen Beschichtungsschicht unter Oberflächenanregungen (z. B. Lastübertragungsmechanismus auf das beschichtete Substrat und Einfluss der Beschichtungsschichtdicke) bei solch begrenzten Einstellungen nicht möglich. Eine Weiterentwicklung der genannten Studien ist den Autoren aufgrund einer umfangreichen Literaturrecherche nicht bekannt.

In der vorliegenden Studie wird eine größenabhängige elastische Reaktion einer oberflächenbelasteten Materialschicht, die auf einem Substrat ruht, untersucht. Bei der Modellierung werden sowohl die freie Oberflächenenergie als auch die Mikrostrukturen des Volumenmaterials als diejenigen berücksichtigt, die für Größeneffekte verantwortlich sind. Die Behandlung eines Mediums als Schicht endlicher Dicke erweitert deutlich die praktischen Anwendungen der verfügbaren Halbebenen- und Halbraumfälle, insbesondere für die Untersuchung von Oberflächenbeschichtungsproblemen. Neben ihrem direkten Beitrag zu einem tieferen Verständnis der mechanischen Reaktion eines sehr dünnen Schichtmediums bilden etablierte Ergebnisse eine wesentliche und ausreichende Grundlage für die Entwicklung eines Lösungsschemas zur Bewältigung von Oberflächenkontaktproblemen.

Stellen Sie sich eine dreidimensionale, elastische Schicht endlicher Dicke h (die eine dünne Beschichtungsschicht darstellt) vor, die auf einem starren Substrat (das ein beschichtetes Substrat darstellt) ruht, wie schematisch in Abb. 1 dargestellt. Die Schicht besteht aus einem Massenteil, der aus besteht ein homogenes, isotropes, linear elastisches Material mit Mikrostrukturen und einem Oberflächenteil, der perfekt an der Oberseite der Masse haftet und über eigene Eigenschaften verfügt. Die Schicht wird auf der Oberseite durch achsensymmetrisch verteilte Normalzugkraft \(p\), Scherzugkraft \(q\) und Kopplungszugkraft \(m\) über einen kreisförmigen Bereich mit Radius \(a\) und frei von Zugkraft belastet anderswo. In dem weiter unten vorgestellten Formulierungs- und Lösungsschema wird ein Referenz-Zylinderkoordinatensystem \(\{ O;r,\theta ,z\}\) verwendet, wobei der Ursprung O im Zentrum des Belastungsbereichs liegt und die r-Achse entlang zeigt Es wird die unendliche Richtung der Schicht und die nach unten gerichtete Z-Achse verwendet.

Schematische Darstellung einer dreidimensionalen elastischen Schicht auf starrer Basis, die willkürlich verteilten achsensymmetrischen Flächenlasten ausgesetzt ist.

Um die elastische Reaktion des Massenmaterials mit Mikrostrukturen zu simulieren, wird eine grundlegende Paarspannungstheorie von Mindlin und Tiersten19 und Koiter23 übernommen. Grundgleichungen (dh Gleichgewichtsgleichungen, Materialgesetze und Kinematik), die das elastische Feld bei achsensymmetrischer Verformung und Nullkörperkraft und -paarung regeln, sind durch66,67 gegeben

wobei \(\{ \sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{zz} ,\sigma_{rz} ,\sigma_{zr} \}\) Kraft-Spannungs-Komponenten ungleich Null sind; \(\{ m_{r\theta } ,m_{\theta r} ,m_{z\theta } ,m_{\theta z} \}\) sind Paarspannungskomponenten ungleich Null; \(\{ \varepsilon_{rr} ,\varepsilon_{\theta \theta } ,\varepsilon_{zz} ,\varepsilon_{rz} ,\varepsilon_{zr} \}\) sind von Null verschiedene Komponenten eines infinitesimalen Dehnungstensors , \(\{ u_{r} ,u_{z} \}\) sind von Null verschiedene Komponenten des Verschiebungsvektors; \(\Omega_{\theta }\) ist eine von Null verschiedene Komponente des Rotationstensors, \(\{ \kappa_{r\theta } ,\kappa_{\theta r} ,\kappa_{z\theta } \} \) sind von Null verschiedene Komponenten des Krümmungstensors; \(\lambda\) und \(\mu\) sind Lamé-Konstanten, die auf die gleiche Weise wie in der klassischen linearen Elastizität definiert sind; und \(\eta\) und \(\eta^{\prime}\) bezeichnen die Materialkonstanten, die für das Vorhandensein von Paarspannungen verantwortlich sind. Es ist erwähnenswert, dass \(\eta\) und \(\eta^{\prime}\) zusätzliche Materialparameter sind, die für den Längenskaleneffekt (d. h. das Vorhandensein einer Materialmikrostruktur) verantwortlich sind, und wenn diese Konstanten verschwinden, Die Paarspannungstheorie reduziert sich identisch zur klassischen linearen Elastizität.

Eine Materialoberfläche, die an der Oberseite der Masse haftet, wird durch die von Gurtin und Murdoch26, Gurtin und Murdoch27 und Gurtin et al.28 vorgeschlagene Oberflächenelastizitätstheorie modelliert. Für einen achsensymmetrischen Fall sind die von Null verschiedenen Oberflächenverschiebungen \(\{ u_{r}^{s} ,u_{z}^{s} \}\), die von Null verschiedenen Oberflächendehnungen \(\{ \varepsilon_{ rr}^{s} ,\varepsilon_{\theta \theta }^{s} \}\) und die von Null verschiedenen Oberflächenspannungen \(\{ \sigma_{rr}^{s} ,\sigma_{\theta \theta }^{s} ,\sigma_{rz}^{s} \}\) werden bestimmt durch

wobei \(\tau^{s}\) die Restoberflächenspannung bezeichnet; \(\lambda^{s} ,\mu^{s}\) sind Oberflächen-Lame-Konstanten; und \(t_{r}^{s} ,t_{z}^{s}\) sind die radiale und vertikale Traktion, die durch die Massenschicht auf den Oberflächenteil wirkt. Kombinieren von Gleichungen. (4)–(6) ergibt die Gleichgewichtsgleichungen hinsichtlich der Oberflächenverschiebungen \(u_{r}^{s} ,u_{z}^{s}\) as

wobei \(\kappa^{s} = 2\mu^{s} + \lambda^{s}\) und die Tatsache, dass die Restoberflächenspannung \(\tau^{s}\) räumlich unabhängig ist, ausgenutzt wurde .

Da der Oberflächenteil perfekt mit der Massenschicht verbunden ist, sind die Oberflächenverschiebungen \(\{ u_{r}^{s} ,u_{z}^{s} \}\) und die Zugkräfte \(\{ t_{r }^{s} ,t_{z}^{s} \}\) kann mit den Verschiebungen und Spannungskomponenten der Volumenschicht in Beziehung gesetzt werden

Durch Anwendung der Kontinuitätsbedingungen Gl. (9) und (10) zusammen mit den Oberflächengleichungen. (7) und (8) führt es zu einer Reihe nichtklassischer Randbedingungen auf der Oberseite der Volumenschicht:

Da der Oberflächenteil als unendlich dünn betrachtet wird und keinen Biegewiderstand aufweist, wird die aufgebrachte Paarzugkraft \(m(r)\) auf der Oberseite des Oberfläche-Masse-Systems direkt auf die Massenschicht übertragen und dies ergibt eine zusätzliche Randbedingung:

Die Randbedingungen am Boden der Massenschicht können leicht ausgedrückt werden als:

Die Gleichungen (11)–(16) bilden einen vollständigen Satz von Randbedingungen für die Volumenschicht, die die Oberflächeneffekte berücksichtigen.

Um die geschlossene Lösung eines elastischen Feldes innerhalb der Volumenschicht zu erhalten, wird eine Methode der Hankel-Transformation zusammen mit der Darstellung des Verschiebungsfeldes angewendet. Insbesondere die vertikalen und radialen Verschiebungen der Massenschicht, die der achsensymmetrischen Verformung unterliegt, lassen die folgenden Darstellungen zu66,67

wobei \(\alpha = (\lambda + \mu){/}2(\lambda + 2\mu)\); \(\ell = \sqrt {\eta {/}\mu }\) stellt die Längenskala des Schüttguts dar; \(\Delta\) ist ein achsensymmetrischer Laplace-Operator; \(\Psi = \Psi (r,z)\) und \(\Phi = \Phi (r,z)\) sind beide Lösungen der folgenden Gleichung:

Die geschlossene allgemeine Lösung von Gl. (19) kann leicht durch Anwendung der Hankel-Transformationsmethode ermittelt werden54,65,68 und die Endergebnisse sind angegeben durch

wobei \(J_{m}\) die Bessel-Funktion erster Art der Ordnung m bezeichnet; \(\xi \in [0,\infty )\) ist ein Transformationsparameter; \(\zeta = \sqrt {1 + \ell^{2} \xi^{2} }\); und \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) sind unbekannte Koeffizienten. Die allgemeinen Lösungen der Verschiebungen \(\{ u_{r} ,u_{z} \}\), der Rotation \(\Omega_{\theta }\), der Kraftspannungskomponenten \(\{ \sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{zz} ,\sigma_{rz} ,\sigma_{zr} \}\) und die Paarspannungskomponenten \(\{ m_{r\theta } ,m_{ \theta r} ,m_{z\theta } ,m_{\theta z} \}\) kann durch Ersetzen der Gleichungen erhalten werden. (20) und (21) in die Gleichungen. (17), (18), (2) und (3). Die expliziten Ausdrücke für das vollständige elastische Feld innerhalb der Volumenschicht in Form der unbekannten Koeffizienten \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) sind im ergänzenden Anhang für aufgeführt Der Kürze halber.

Durch die Durchsetzung der durch die Gleichungen gegebenen Randbedingungen. (11)–(16) zusammen mit den allgemeinen Lösungen für \(\{ u_{r} ,u_{z} ,\sigma_{zz} ,\sigma_{zr} ,m_{z\theta } \}\) gegeben im Ergänzenden Anhang ergibt sich das folgende System linearer algebraischer Gleichungen zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\):

wobei \({\varvec{C}} = \{ \begin{array}{*{20}c} {C_{1} } & {C_{2} } & \cdots & {C_{6} } \\ \end{array} \}^{T}\) und die Koeffizientenmatrix \({\varvec{A}}(\xi )\) und der Vektor \({\varvec{F}}(\xi )\) sind explizit gegeben durch

mit \(h_{1} = 1/2 - \ell^{2} \xi^{2}\), \(h_{2} = \alpha h + \ell^{2} \xi\), \ (h_{3} = \alpha h - \ell^{2} \xi\), \(h_{s} = \ell^{2} \tau^{s} \xi^{3} + \alpha \ tau^{s} \xi - \tau^{s} \xi\), und

Die Lösung des Systems (Gl. 22) für jedes \(\xi \in [0,\infty )\) kann numerisch über Standard-Linearlöser erhalten werden. Sobald \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) gelöst ist, kann das elastische Feld innerhalb der Volumenschicht aus den ergänzenden Gleichungen ermittelt werden. (A1)–(A12). Um alle beteiligten uneigentlichen Integrale auszuwerten, wird eine effiziente Quadraturregel übernommen, die der von Rungamornrat et al.54 und Lawongkerd et al.65 verwendeten ähnelt.

Berechnete Ergebnisse für bestimmte Fälle werden zunächst mit vorhandenen Benchmark-Lösungen verglichen, um sowohl die Formulierung als auch das Lösungsverfahren zu überprüfen. Anschließend wird der Einfluss von Oberflächen- und Kopplungsspannungen auf das elastische Feld innerhalb einer dünnen Materialschicht unter verschiedenen Oberflächenlasten untersucht. Um die individuellen und gleichzeitigen Auswirkungen auf die größenabhängigen Eigenschaften klar zu veranschaulichen, werden Ergebnisse für vier verschiedene Modelle (d. h. Modell-1 mit sowohl Oberflächen- als auch Paarspannungseffekten, Modell-2 mit nur Oberflächeneffekt (d. h. \(\ell \to 0\)), Modell-3 mit nur Paarspannungseffekten (d. h. \(\tau^{s} , \kappa^{s} \to 0\)) und Modell-4 ohne Oberflächen- und Paarspannungseffekte (d. h , \(\tau^{s} ,\kappa^{s} ,\ell \to 0\))) werden gemeldet und verglichen. Zur Vereinfachung von Simulationen und Präsentation der Ergebnisse folgen Sie den normalisierten Koordinaten und Parametern \(\overline{r} = r{/}\Lambda\), \(\overline{z} = z{/}\Lambda\), \( \overline{a} = a{/}\Lambda\), \(\overline{h} = h{/}\Lambda\), \(\overline{\tau }^{s} = \tau^{s } {/}2\mu \Lambda\) und \(l_{0} = \ell /\Lambda\), wobei \(\Lambda = \kappa^{s} {/}2\mu\) die Länge angibt Maßstab der Materialoberfläche werden eingeführt.

In der numerischen Studie werden Materialparameter verwendet, die von Miller und Shenoy48 und Shenoy49 berichtet wurden. Insbesondere werden die Lamé-Konstanten des Schüttguts als \(\lambda = 58,17 \times 10^{9} {\text{ N/m}}^{2}\) und \(\mu = 26,13 \times 10) angenommen ^{9} {\text{ N/m}}^{2}\), während Oberflächen-Lamé-Konstanten und die Restoberflächenspannung als \(\lambda^{s} = 6,8511{\text{ N/m} angenommen werden }\), \(\mu^{s} = - 0,376{\text{ N/m}}\) und \(\tau^{s} = 1{\text{ N/m}}\), jeweils.

Betrachten Sie zunächst einen elastischen Halbraum, der einer gleichmäßig verteilten Normaltraktion \(p_{0}\) über einen kreisförmigen Bereich mit dem Radius \(a\) ausgesetzt ist, wie in Abb. 2a dargestellt. Um das Halbraummedium innerhalb der aktuellen Einstellung zu simulieren, wird die Dicke der Schicht im Vergleich zu \(a\) als ausreichend groß angenommen und das Verhältnis \(h{/}a = 1000\) in die Analyse einbezogen . Die Ergebnisse für die Kraftspannungskomponente \(\sigma_{zz}\) und die Paarspannungskomponente \(m_{\theta r}\) gegenüber dem Verhältnis \(a{/}\ell\) werden mit denen von Lawongkerd verglichen et al.65 in Abb. 3 für \(z{/}a = 0,25\), \(r/a = 0,5\) und \(l_{0} = 1\). Es zeigt sich, dass die berechneten Ergebnisse für alle vier Modelle hervorragend mit den Benchmark-Lösungen übereinstimmen.

(a) Elastischer Halbraum unter gleichmäßig verteilter normaler Zugkraft; (b) elastische Schicht, die auf einem starren Substrat unter gleichmäßig verteilter (Fall A) und Hertzscher (Fall B) normaler Traktion ruht; und (c) elastische Schicht, die auf einem starren Substrat unter linear verteilter (Fall C) und quadratisch verteilter (Fall D) radialer Scherzugkraft über einen kreisförmigen Bereich mit dem Radius \(a\) ruht.

Variationen von (a) normalisierter Vertikalspannung und (b) normalisierter Paarspannung einer unendlichen elastischen Schicht unter gleichmäßig verteilter Normaltraktion für \(z{/}a = 0,25\), \(r/a = 0,5\) und \ (l_{0} = 1\).

Ein weiterer Nachweis wird für eine elastische Schicht unter einer gleichmäßig verteilten Normaltraktion \(p_{0}\) durchgeführt, die auf einen kreisförmigen Bereich mit dem Radius \(a\) wirkt, wie in Abb. 2b für den Lastfall A gezeigt. Ergebnisse für diesen speziellen Fall Probleme wurden von Rungamornrat et al.54 für den klassischen Fall und den Fall mit nur Oberflächenspannungseffekt berichtet. Um diese beiden Sonderfälle zu simulieren, werden die Parameter \(\tau^{s} ,\kappa^{s} ,\ell\) und \(\ell\) für jedes Szenario als ausreichend klein angenommen. Die berechneten Oberflächenverschiebungen (d. h. \(\overline{z} = 0\)) sind in Abb. 4 für \(\overline{a} = 10\) und \(\overline{h} = 10\) und angegeben Die Spannungskomponenten in der normalisierten Tiefe \(\overline{z} = 0,25\) sind in Abb. 5 für \(\overline{a} = 1\) und \(\overline{h} = 10\) dargestellt. Die gute Übereinstimmung der beiden Ergebnismengen bestätigt zusätzlich die Gültigkeit des vorgeschlagenen Schemas und der abgeleiteten Lösungen.

Normalisierte Verschiebungsprofile einer unendlich elastischen Schicht unter gleichmäßig verteilter normaler Zugkraft: (a) radiale Verschiebung und (b) vertikale Verschiebung.

Normalisierte Spannungsprofile einer unendlichen elastischen Schicht unter gleichmäßig verteilter normaler Zugkraft: (a) vertikale Spannung, (b) radiale Spannung, (c) Scherspannung und (d) Umfangsspannung.

In diesem Abschnitt werden Ergebnisse einer parametrischen Studie vorgestellt, die die Rolle von Oberflächen- und Kopplungsspannungen auf die vorhergesagte Reaktion und das größenabhängige Verhalten eines mit einer dünnen Beschichtungsschicht beschichteten Substrats unter Oberflächenlasten veranschaulichen. Dabei stehen insbesondere die Lastübertragungseigenschaften von der Beschichtungsoberfläche auf das Substrat und der Einfluss der Beschichtungsschichtdicke im Vordergrund. Um auch den Einfluss der aufgebrachten Lasten und ihrer Verteilung zu untersuchen, wurde ein beschichtetes System vier repräsentativen Oberflächenlasten ausgesetzt, die auf einen kreisförmigen Bereich mit dem Radius \(a\) wirken, wie in Abb. 2b,c gezeigt (d. h. Fall A für eine gleichmäßig verteilte Normale). Traktion \(p(r) = p_{0}\), Fall B für die Hertzsche Normaltraktion \(p(r) = p_{0} \sqrt {1 - (r{/}a)^{2} } \), Fall C für eine linear verteilte radiale Schubkraft \(q(r) = q_{0} r/a\), und Fall D für eine quadratisch verteilte radiale Schubkraft \(q(r) = q_{0} (r{/}a)^{2}\)) berücksichtigt. In Simulationen wurden die folgenden Materialparameter \(E = 76{\text{ GPa}}\), \(\nu = 0,3\), \(\kappa^{s} = 1,22{\text{ N/m}} \) und \(\tau^{s} = 0,89{\text{ N/m}}\)48,49 werden verwendet, sofern nicht anders angegeben. Beachten Sie außerdem, dass nur der Fall vergleichbarer Oberflächen- und Paarspannungseffekte untersucht wird und zur Simulation eines solchen Szenarios die beiden Materiallängenskalen \(\ell ,\Lambda\) als \(l_{0} = 1\) angenommen werden. . Die vollständige Diskussion der beiden Größeneffekte für einen weiten Bereich des Verhältnisses \(\ell {/}\Lambda\) findet sich in der Arbeit von Le et al.63 und Lawongkerd et al.65.

Um die Intensität der auf das beschichtete Substrat übertragenen Last zu demonstrieren, werden die vertikale Spannung \(\sigma_{zz}\) für den Lastfall A und den Lastfall B sowie die Scherspannung \(\sigma_{zr}\) für den Lastfall verwendet C und Lastfall D sind in Abb. 6 für \(z{/}a = 1\), \(h{/}a = 1\) und \(a{/}\ell \in \{ 0,01) dargestellt ,1.100\}\). Es wird davon ausgegangen, dass drei Werte des Verhältnisses \(a{/}\ell\) Fälle darstellen, in denen die Größe eines Ladebereichs (der die äußere Längenskala darstellt) viel kleiner, vergleichbar und viel größer als die beiden Materiallängen ist Waage. Beachten Sie, dass sowohl vertikale als auch Scherspannungen durch die maximale Intensität der aufgebrachten Oberflächenlasten normiert werden, um die Rolle der Beschichtungsschicht bei der Reduzierung der auf das Substrat übertragenen Spannungen klar zu erkennen. Für die ersten beiden Lastfälle (d. h. Lastfall A und Lastfall B) erreicht die normalisierte Vertikalspannung die maximale Größe in der Mitte des Belastungsbereichs und fällt mit zunehmendem \(r{/}a\) monoton auf Null ab alle Modelle und Werte von \(a{/}\ell\) (siehe Abb. 6a–c). Da die Größe des Belastungsbereichs sowohl mit der Längenskala des Massen- als auch des Oberflächenmaterials vergleichbar wird, unterscheidet sich die Übertragung vertikaler Spannungen auf das Substrat bei allen vier Modellen deutlich (siehe Abb. 6b). Dieser Befund bestätigt die wichtige Rolle sowohl der Oberflächen- als auch der Paarspannungen, wenn \(a\) in den Bereich von \(\ell,\Lambda\) fällt. Offensichtlich können Model-2 und Model-3 nicht als Ersatz für Model-1 verwendet werden. Darüber hinaus wird durch das Vorhandensein von Oberflächen- und Kopplungsspannungseffekten die maximale Spannungsübertragung auf das Substrat im Vergleich zum klassischen Fall deutlich reduziert; Insbesondere ergibt das Modell-1 den kleinsten Wert der maximal übertragenen Spannung. Wenn \(a\) viel kleiner als \(\ell ,\Lambda\) ist (siehe Abb. 6a), prognostizieren Modell 2 und Modell 3 Reaktionen immer noch anders als im klassischen Fall, die Auswirkung von Oberflächenspannungen ist jedoch anders ausgeprägter als das des Paares betont. Die von Modell 1 und Modell 2 erhaltenen übertragenen vertikalen Spannungen sind vergleichbar, unterscheiden sich jedoch stark von denen von Modell 3 und Modell 4. Diese Ergebnisse legen nahe, dass Modell 2 anstelle von Modell 1 verwendet werden kann, um die Berechnungen zu vereinfachen, wenn \(a \ll \ell \sim \Lambda\). Wenn \(a\) viel größer als \(\ell ,\Lambda\) ist (siehe Abb. 6c), spielen die Oberflächen- und Paarspannungen eine unbedeutende Rolle bei der vorhergesagten Reaktion; Insbesondere sind die Ergebnisse von Modell 1, Modell 2 und Modell 3 nahezu identisch mit den klassischen Lösungen. Für diesen Bereich externer und materieller Längenskalen wird das Modell 4 als ausreichend für die Simulation der interessierenden Reaktion angesehen. Es ist erwähnenswert, dass eine Änderung der Verteilung der angewendeten Normalzüge die Reaktionseigenschaften nicht verändert, mit Ausnahme des Größenunterschieds, der sich aus dem Unterschied in der Zugresultierenden ergibt. Für den Lastfall C und den Lastfall D steigt die Größe der normalisierten Schubspannung \(\sigma_{zr} {/}q_{0}\), die auf das Substrat übertragen wird, von Null in der Mitte des Belastungsbereichs auf ihr Maximum bei \(r{/}a \in [0,5,1]\) und fällt dann mit zunehmendem \(r\) asymptotisch auf Null ab (siehe Abb. 6d–f). Es ist darauf hinzuweisen, dass bei diesen Belastungsbedingungen die Rolle der Oberflächenspannungen auf die maximal übertragene Scherspannung entgegengesetzt zu der der Paarspannungen ist. Insbesondere neigen die Oberflächenspannungen (Modell 2) dazu, die maximale übertragene Scherspannung gegenüber dem klassischen Fall zu verringern, während die Paarspannungen dieses Maximum deutlich erhöhen und auch die Richtung der Scherspannung ändern. Durch den Vergleich der Ergebnisse für drei verschiedene Werte von \(a{/}\ell\) und zwei verschiedene Verteilungen der angewendeten Scherlasten kann eine ähnliche Schlussfolgerung für Lastfall A und Lastfall B gezogen werden. Insbesondere wenn sich die Größe des Belastungsbereichs so verringert, dass sie mit den beiden Längenskalen \(\ell ,\Lambda\) vergleichbar (oder viel kleiner) ist, ist das Modell-1 (oder das Modell-1 und das Modell-2) zur Erfassung der Größeneffekte verwendet werden. Beachten Sie auch, dass das Vorhandensein sowohl von Oberflächen- als auch von Paarspannungen das Maximum entweder verringern (wie \(a \ll \ell \sim \Lambda\)) oder erhöhen (wie \(a \sim \ell \sim \Lambda\)) kann Übertragung der Scherspannung auf das Substrat im klassischen Fall.

Profile normalisierter Vertikal- und Schubspannungen in radialer Richtung am Boden der Beschichtungsschicht für \(h{/}a = 1\) und \(l_{0} = 1\): (a,d) \(a{ /}\ell = 0,01\), (b,e) \(a{/}\ell = 1\) und (c,f) \(a{/}\ell = 100\).

Durch-die-Dicke-Profile der Vertikalspannung \(\sigma_{zz}\) bei \(r{/}a = 0\) für den Lastfall A und Lastfall B und die Schubspannung \(\sigma_{zr }\) bei \(r{/}a = 0,7\) für den Lastfall C und den Lastfall D sind in Abb. 7 auch für \(h/a = 1\) und \(a{/}\ell angegeben \in \{ 0,01,1,100\}\). Die spezifischen Werte von \(r{/}a\), die zum Sammeln dieser Ergebnisse verwendet werden, hängen mit dem Ort zusammen, an dem die übertragene Spannung auf das Substrat erreicht (für Lastfall A und Lastfall B) oder ungefähr erreicht (für Lastfall). C und Lastfall D) sein Maximum. Aus Abb. 7a–c ist ersichtlich, dass die von Modell 1, Modell 2 und Modell 3 vorhergesagte vertikale Spannung mit zunehmender Tiefe \(z\) schneller abnimmt als im klassischen Fall. Dennoch tendiert das Modell 2 für Lastfall C und Lastfall D (siehe Abb. 7d–f) dazu, den Abfall der Scherspannung über die Dicke der Beschichtungsschicht gegenüber dem klassischen Fall zu verstärken, Modell 3 scheint dies jedoch zu tun um diesen Verfall zu verringern. Das Modell-1, das beide Effekte berücksichtigt, kann den Zerfall je nach Verhältnis \(a{/}\ell\) entweder verringern (siehe Abb. 7e) oder verstärken (siehe Abb. 7d). Für alle betrachteten Lastfälle hängen die Profile der vertikalen und radialen Scherspannungen durch die Dicke stark von Oberflächen- und Paarspannungseffekten ab, wenn \(a\) mit (siehe Abb. 7b,e) vergleichbar oder viel kleiner ist als (siehe Abb. 7a,d) \(\ell ,\Lambda\) und im letzteren Fall ist der Oberflächeneffekt stärker ausgeprägt. Beachten Sie außerdem, dass eine Änderung der Verteilung der aufgebrachten Oberflächenlasten den Trend der vorhergesagten Reaktion nicht verändert.

Durch die Dicke verlaufende Profile der normalisierten vertikalen Spannung bei \(r{/}a = 0\) und der Scherspannung bei \(r{/}a = 0,7\) für \(h{/}a = 1\) und \(l_{0} = 1\): (a,d) \(a{/}\ell = 0,01\), (b,e) \(a{/}\ell = 1\) und (c ,f) \(a{/}\ell = 100\).

Um den Einfluss der Beschichtungsschichtdicke auf die Verringerung der übertragenen Spannung auf das Substrat weiter zu veranschaulichen, wenn sowohl Oberflächen- als auch Kopplungsspannungseffekte vorhanden sind, werden die übertragenen Vertikal- und Scherspannungen für den Fall angelegter normaler und radialer Scherspannungen ermittelt aus Das Modell-1 wird als Funktion der normalisierten Dicke \(h{/}a\) in Abb. 8 für \(a{/}\ell \in \{ 0,01,1,100\}\) angegeben. Da die Rolle von Oberflächen- und Kopplungsspannungseffekten für verschiedene Oberflächenlastverteilungen ähnlich ist, werden Lastfall A und Lastfall C als repräsentative Lastfälle für angewendete normale bzw. radiale Scherzüge ausgewählt. Für den Lastfall A wird die übertragene Vertikalspannung \(\sigma_{zz}\) bei \(r{/}a = 0\) angegeben, wo sie ihr Maximum erreicht (siehe Abb. 6a–c). Für diesen Belastungsfall kann die Erhöhung der Dicke der Beschichtungsschicht sowohl beim klassischen Modell als auch bei Modell-1 die maximale vertikale Übertragung der Spannung auf das Substrat erheblich senken. Das Vorhandensein sowohl von Paar- als auch von Oberflächenspannungen macht diese Verringerung jedoch deutlicher, wenn die Größe des Belastungsbereichs entweder in den Bereich der Materiallängenskalen \(\ell,\Lambda\) fällt oder viel kleiner als diese ist (siehe Abb. 8a). Im letzteren Fall (wie \(a \ll \ell \sim \Lambda\)) ist der Oberflächeneffekt der Schlüssel, der für eine solch wesentliche Reduzierung gegenüber dem klassischen Fall verantwortlich ist. Für den Lastfall C wird der Einfachheit halber gewählt, die übertragene radiale Schubspannung \(\sigma_{zr}\) bei \(r{/}a = 0,7\) anzugeben, da der genaue Ort des Maximums \( r{/}a\) variiert zwischen 0,5 und 1 (siehe Abb. 6d–f). Aus dieser Reihe von Ergebnissen geht hervor, dass die auf das Substrat übertragene Scherspannung zwar monoton und asymptotisch auf Null abnimmt, wenn die Schichtdicke der Beschichtung zunimmt, wenn sowohl Oberflächen- als auch Kopplungsspannungen berücksichtigt werden, das Vorhandensein solcher Effekte sich jedoch auch verstärken kann (als \(a \sim \ell \sim \Lambda\)) oder reduzieren (\(a \ll \ell \sim \Lambda\)) die übertragende Schubspannung aus dem klassischen Fall. Darüber hinaus verschwindet der Wechsel der Richtung der übertragenen Scherspannung von der der angelegten Scherzugkraft für ein ausreichend großes \(h{/}a\), wie er im klassischen Fall beobachtet wurde, wenn sowohl Oberflächen- als auch Kopplungsspannungseffekte vorhanden sind bedeutsam.

Normalisierte (a) maximale übertragene Vertikalspannung für Lastfall A und (b) übertragene Scherspannungen bei \(r{/}a = 0,7\) für Lastfall C im Vergleich zur normalisierten Dicke der Beschichtungsschicht. Ergebnisse werden für \(l_{0} = 1\) und \(a{/}\ell \in \{ 0,01,1,100\}\) angegeben.

Schließlich werden auch die größenabhängigen Eigenschaften der vorhergesagten übertragenen Spannungen auf das Substrat untersucht. Um dieses Verhalten deutlich zu veranschaulichen, werden die maximale übertragene Vertikalspannung für den Lastfall A und die übertragene Scherspannung bei \(r{/}a = 0,7\) für den Lastfall C als Funktion von \(a{/} angegeben. \ell\) in Abb. 9 für \(h{/}a \in \{ 0.5,1,2\}\). Es ist ersichtlich, dass für jedes gegebene Seitenverhältnis \(h{/}a\) die aus Modell 1 erhaltenen normalisierten Übertragungsspannungen auf das Substrat stark von der Größe abhängig sind oder, äquivalent, vom Längenskalenverhältnis \(a{ /}\ell\). Wenn \(a\) auf einen Wert abnimmt, der mit \(\ell\) vergleichbar oder kleiner ist, fällt die maximale übertragene Vertikalspannung für den Lastfall A ziemlich schnell und monoton von dem vom klassischen Modell vorhergesagten Wert ab. Das unterschiedliche Verhalten ist für den Lastfall C zu beobachten. Der Verlauf der übertragenen Schubspannung über einen weiten Bereich des Verhältnisses \(a{/}\ell\) ist nicht monoton; Insbesondere für \(a\), das mit \(\ell ,\Lambda\) vergleichbar oder größer als \(\ell ,\Lambda\) ist, ist die vorhergesagte übertragene Scherspannung aus dem Modell-1 höher als die klassische Lösung, während der umgekehrte Trend geschlossen werden kann, wenn \( a\) ist viel kleiner als \(\ell ,\Lambda\). Für beide Belastungsfälle verringert sich die Größenabhängigkeit auf unbedeutend, da die Größe des Belastungsbereichs \(a\) viel größer ist als die Materiallängenskalen \(\ell,\Lambda\) und das Modell-4 daher ausreichend ist für die Simulationen.

Normalisierte (a) maximale übertragene Vertikalspannung für Lastfall A und (b) übertragene Scherspannungen bei \(r{/}a = 0,7\) für Lastfall C gegenüber dem Verhältnis \(a{/}\ell\). Ergebnisse werden für \(l_{0} = 1\) und \(h{/}a \in \{ 0,5,1,2\}\) angegeben.

Die analytische Lösung eines elastischen Feldes einer dünnen Materialschicht, die ein starres Substrat bedeckt und durch axialsymmetrisch verteilte Oberflächenlasten angeregt wird, wurde abgeleitet. Solche etablierten Ergebnisse gelten insofern als neuartig, als sowohl die freie Oberflächenenergie als auch die Materialmikrostrukturen, die nachweislich für die Größeneffekte bei kleinen Objekten verantwortlich sind, gleichzeitig berücksichtigt werden, um ein Medium endlicher Dicke zu modellieren. Dies ermöglicht die direkte Anwendung, um die mechanische Reaktion von Bauteilen zu simulieren, die mit einer sehr dünnen Materialschicht überzogen sind. Ein kontinuumsbasiertes Modell, das die Paarspannungselastizitätstheorie zur Bewältigung des inhärenten Mikrostruktureffekts und die Gurtin-Murdoch-Oberflächenelastizitätstheorie zur Erfassung des Oberflächeneffekts integriert, wurde formuliert und durch ein analytisches Schema gelöst, das auf der Hankel-Transformation und der Verschiebungsdarstellung basiert. Die erhaltenen Ergebnisse liegen explizit in integraler Form vor, sind als nützliche Benchmark-Lösungen hochpräzise und bilden eine wesentliche Grundlage für die Entwicklung von Lösungsschemata zur Bewältigung von Oberflächenkontaktproblemen.

Ergebnisse einer umfangreichen numerischen Studie haben gezeigt, dass die Oberflächen- und Kopplungsspannungen sowohl die Eigenschaften als auch den Maximalwert der Lastübertragung auf das beschichtete Substrat im Vergleich zum klassischen Fall, bei dem die Größe des Belastungsbereichs vergleichbar oder viel kleiner ist, erheblich beeinflussen Materiallängenskalen. Bei einem beschichteten System unter normalen Zugkräften kann das Vorhandensein von Oberflächen- und Kopplungsspannungen die Reduzierung der auf das Substrat übertragenen vertikalen Spannung erheblich steigern, insbesondere wenn die Größe des Belastungsbereichs viel kleiner ist als die Längenskala der Massen- und Oberflächenmaterialien. Bei den aufgebrachten Scherlasten ist ein anderer Trend zu beobachten. Die vom Modell, das sowohl Oberflächen- als auch Kopplungsspannungseffekte integriert, vorhergesagte Scherspannung, die auf das Substrat übertragen wird, kann abhängig vom Verhältnis zwischen der Größe des Belastungsbereichs und den Materiallängenskalen entweder niedriger oder höher als bei der klassischen Lösung sein. Dies ergibt sich direkt aus der Tatsache, dass der Oberflächeneffekt die übertragene Scherspannung senkt, der Kopplungsspannungseffekt jedoch den umgekehrten Trend verursacht. Da außerdem die Größe des Belastungsbereichs viel kleiner wird als die beiden Materiallängenskalen, ist der Oberflächeneffekt viel ausgeprägter als der Kopplungsspannungseffekt.

Die während der aktuellen Studie generierten und/oder analysierten Datensätze sind nicht öffentlich verfügbar, da die Daten auch Teil einer laufenden Studie sind, können aber auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor angefordert werden.

Paschen, H. TA-Projekt Nanotechnologie: Endbericht: Büro für Technikfolgenabschätzung beim Deutschen Bundestag (2003).

Nguyen, TB et al. Nichtlineare Analyse für Biegung, Knickung und Nachknickung von Nanoträgern mit nichtlokalen und Oberflächenenergieeffekten. Int. J. Struktur. Stechen. Dyn. 19(11), 1950130 (2019).

Artikel Google Scholar

He, Y., Qing, H. & Gao, C.-F. Theoretische Analyse der freien Schwingung von Mikrobalken unter verschiedenen Randbedingungen unter Verwendung eines spannungsgesteuerten nichtlokalen Integralmodells. Int. J. Struktur. Stechen. Dyn. 20(03), 2050040 (2020).

Artikel Google Scholar

Ma, HM, Gao, XL & Reddy, JN Ein nicht-klassisches Mindlin-Plattenmodell basierend auf einer modifizierten Paarspannungstheorie. Acta Mech. 220(1), 217–235 (2011).

Artikel MATH Google Scholar

Sladek, V., Sladek, J., Repka, M. & Sator, L. FGM-Mikro-/Nanoplatten innerhalb modifizierter Paarspannungselastizität. Kompositionen. Struktur. 245, 112294 (2020).

Artikel Google Scholar

Muki, R. & Sternberg, E. Der Einfluss von Paarspannungen auf singuläre Spannungskonzentrationen in elastischen Festkörpern. Z. Angew. Mathematik. Physik. ZAMP 16(5), 611–648 (1965).

Artikel Google Scholar

Tirapat, S., Senjuntichai, T. & Rungamornrat, J. Einfluss von Oberflächenenergieeffekten auf elastische Felder eines geschichteten elastischen Mediums unter Oberflächenbelastung. Adv. Mater. Wissenschaft. Ing. 2017, 7530936 (2017).

Artikel Google Scholar

Tarntira, K., Senjuntichai, T. & Keawsawasvong, S. Mehrschichtiges elastisches Medium unter achsensymmetrischer Belastung und Oberflächenenergie. Schlüssel-Ing. Mater. 814, 320–326 (2019).

Artikel Google Scholar

Zhou, L. & Yao, Y. Prüfung der Mikro-/Nano-Eindruckhärte von Einzelkristall-Massenmaterial mittels Nanoindentationsinstrument und AFM. Mater. Wissenschaft. Ing. A 460–461, 95–100 (2007).

Artikel Google Scholar

Wang, ZZ, Gu, P. & Zhang, Z. Eindruck- und Kratzverhalten einer Nano-SiO2/Polycarbonat-Verbundbeschichtung im Mikro-/Nanomaßstab. Tragen Sie 269(1), 21–25 (2010).

Artikel CAS Google Scholar

Sangwal, K., Gorostiza, P., Servat, J. & Sanz, F. Rasterkraftmikroskopische Untersuchung der Nanoindentationsverformung und des Eindruckgrößeneffekts in MgO-Kristallen. J. Mater. Res. 14(10), 3973–3982 (1999).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Xie, ZH, Hoffman, M., Moon, RJ & Munroe, PR Verformung einer harten Beschichtung auf einem duktilen Substratsystem während der Nanoindentation: Rolle der Beschichtungsmikrostruktur. J. Mater. Res. 21(2), 437–447 (2006).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Almasri, AH & Voyiadjis, GZ Nanoeinkerbung in FCC-Metallen: Experimentelle Studie. Acta Mech. 209(1), 1 (2009).

MATH Google Scholar

Liang, H., Woo, CH, Huang, H., Ngan, AHW & Yu, TX Kristalline Plastizität auf Kupferoberflächen (001), (110) und (111) während der Nanoindentation. Berechnen. Modell. Ing. Wissenschaft. 6(1), 105–114 (2004).

MATH Google Scholar

Yaghoobi, M. & Voyiadjis, GZ Einfluss von Randbedingungen auf die MD-Simulation der Nanoindentation. Berechnen. Mater. Wissenschaft. 95, 626–636 (2014).

Artikel CAS Google Scholar

Feng, C. et al. Molekulardynamiksimulation der Nanoeinkerbung auf mehrschichtigen Ti-V-Dünnfilmen. Physik. E. 87, 213–219 (2017).

Artikel CAS Google Scholar

Shirazi, AHN Molekulardynamische Untersuchung der mechanischen Eigenschaften von einschichtigem Phagraphen. Vorderseite. Struktur. Zivil. Ing. 13(2), 495–503 (2019).

Artikel Google Scholar

Salavati, M., Mojahedin, A. & Shirazi, AHN Mechanische Reaktionen von makellosen und defekten hexagonalen Bornitrid-Nanoblättern: Eine molekulardynamische Untersuchung. Vorderseite. Struktur. Zivil. Ing. 14(3), 623–631 (2020).

Artikel Google Scholar

Mindlin, RD & Tiersten, HF Auswirkungen von Paarspannungen auf die lineare Elastizität. Bogen. Ration. Mech. Anal. 11(1), 415–448 (1962).

Artikel MATH Google Scholar

Toupin, RA Elastische Materialien mit Paarspannungen. Bogen. Ration. Mech. Anal. 11(1), 385–414 (1962).

Artikel MATH Google Scholar

Toupin, RA Theorien zur Elastizität bei Paarstress. Bogen. Ration. Mech. Anal. 17(2), 85–112 (1964).

Artikel MATH Google Scholar

Mindlin, RD Einfluss von Paarstress auf Stresskonzentrationen. Exp. Mech. 3(1), 1–7 (1963).

Artikel Google Scholar

Koiter, W. Paarstress in der Elastizitätstheorie. in einem Vortrag, gehalten an der Königlichen Niederländischen Akademie der Künste und Wissenschaften (1964).

Mindlin, RD Mikrostruktur in linearer Elastizität. Bogen. Ration. Mech. Anal. 16(1), 51–78 (1964).

Artikel MATH Google Scholar

Mindlin, RD Zweiter Gradient von Dehnung und Oberflächenspannung in der linearen Elastizität. Int. J. Feststoffstruktur. 1(4), 417–438 (1965).

Artikel Google Scholar

Gurtin, ME & Ian Murdoch, A. Eine Kontinuumstheorie elastischer Materialoberflächen. Bogen. Ration. Mech. Anal. 57(4), 291–323 (1975).

Artikel MATH Google Scholar

Gurtin, ME & Ian Murdoch, A. Oberflächenspannung in Festkörpern. Int. J. Feststoffstruktur. 14(6), 431–440 (1978).

Artikel MATH Google Scholar

Gurtin, ME, Weissmüller, J. & Larché, F. Eine allgemeine Theorie gekrümmter verformbarer Grenzflächen in Festkörpern im Gleichgewicht. Philos. Mag. A 78(5), 1093–1109 (1998).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Eringen, AC Kontinuumsphysik. in polaren und nichtlokalen Feldtheorien. Bd. 4. (1976).

Eringen, AC Über Differentialgleichungen nichtlokaler Elastizität und Lösungen von Schraubenversetzungen und Oberflächenwellen. J. Appl. Physik. 54(9), 4703–4710 (1983).

Artikel ADS Google Scholar

Eringen, AC Nichtlokale Kontinuumsfeldtheorien (Springer, 2002).

MATH Google Scholar

Zisis, T., Gourgiotis, PA, Baxevanakis, KP & Georgiadis, HG Einige grundlegende Kontaktprobleme bei der Paarbelastungselastizität. Int. J. Feststoffstruktur. 51(11), 2084–2095 (2014).

Artikel Google Scholar

Gourgiotis, P. & Zisis, T. Zweidimensionale Einkerbung mikrostrukturierter Festkörper, gekennzeichnet durch Paarspannungselastizität. J. Strain Anal. Ing. Des. 51(4), 318–331 (2015).

Artikel Google Scholar

Zisis, T., Gourgiotis, PA & Dal Corso, F. Ein Kontaktproblem bei der Paarspannungs-Thermoelastizität: Die Einkerbung durch einen heißen Flachstempel. Int. J. Feststoffstruktur. 63, 226–239 (2015).

Artikel Google Scholar

Gourgiotis, PA, Zisis, T. & Baxevanakis, KP Analyse des geneigten Flachstempels in der Paarspannungselastizität. Int. J. Feststoffstruktur. 85–86, 34–43 (2016).

Artikel Google Scholar

Song, H.-X., Ke, L.-L. & Wang, Y.-S. Gleitreibungskontaktanalyse eines elastischen Festkörpers mit Paarspannungen. Int. J. Mech. Wissenschaft. 133, 804–816 (2017).

Artikel Google Scholar

Wang, Y. et al. Semianalytische Untersuchung des mikroskopischen zweidimensionalen Teilgleitkontaktproblems im Rahmen der Paarspannungselastizität: Zylindrischer Eindringkörper. Int. J. Feststoffstruktur. 138, 76–86 (2018).

Artikel Google Scholar

Zisis, T. Antiebenenbelastung mikrostrukturierter Materialien im Kontext der Paarspannungstheorie der Elastizität: Halbebenen und Schichten. Bogen. Appl. Mech. 88(1), 97–110 (2018).

Artikel ADS Google Scholar

Karuriya, AN & Bhandakkar, TK Ebener Spannungseindruck auf einer Verbundschicht endlicher Dicke bei Paarspannungselastizität. Int. J. Feststoffstruktur. 108, 275–288 (2017).

Artikel Google Scholar

Song, H., Ke, L., Wang, Y., Yang, J. & Jiang, H. Zweidimensionaler reibungsloser Kontakt einer beschichteten Halbebene basierend auf der Paarspannungstheorie. Int. J. Appl. Mech. 10(05), 1850049 (2018).

Artikel Google Scholar

Wongviboonsin, W., Gourgiotis, PA, Van, CN, Limkatanyu, S. & Rungamornrat, J. Größeneffekte in zweidimensionalen Schichtmaterialien, modelliert durch Paarspannungselastizität. Vorderseite. Struktur. Zivil. Ing. 15(2), 425–443 (2021).

Artikel Google Scholar

Wongviboonsin, W., Le, TM, Lawongkerd, J., Gourgiotis, PA & Rungamornrat, J. Mikrostrukturelle Auswirkungen auf die Reaktion eines mehrschichtigen elastischen Substrats. Int. J. Feststoffstruktur. 241, 111394 (2022).

Artikel Google Scholar

Wang, Y. et al. Dreidimensionale Kontaktanalyse mit Paarspannungselastizität. Int. J. Mech. Wissenschaft. 153–154, 369–379 (2019).

Artikel Google Scholar

Gourgiotis, PA, Zisis, T., Giannakopoulos, AE & Georgiadis, HG Das Hertz-Kontaktproblem bei der Paarspannungselastizität. Int. J. Feststoffstruktur. 168, 228–237 (2019).

Artikel Google Scholar

Lawongkerd, J., Le, TM, Keawsawasvong, S., Limkatanyu, S. & Rungamornrat, J. Elastischer Halbraum unter axialsymmetrischer Oberflächenbelastung und Einfluss von Paarspannungen. Appl. Mech. Mater. 897, 129–133 (2020).

Artikel Google Scholar

Wang, Y., Zhang, X., Shen, H., Liu, J. & Zhang, B. Koppeln Sie den spannungsbasierten 3D-Kontakt elastischer Filme. Int. J. Feststoffstruktur. 191, 449–463 (2020).

Artikel Google Scholar

Gibbs, JW Scientific Papers of Josiah Willard Gibbs Vol. 1 (Longmans, Green and Company, 1906).

Google Scholar

Miller, RE & Shenoy, VB Größenabhängige elastische Eigenschaften nanoskaliger Strukturelemente. Nanotechnologie 11(3), 139–147 (2000).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Shenoy, VB Atomistische Berechnungen der elastischen Eigenschaften metallischer fcc-Kristalloberflächen. Physik. Rev. B 71(9), 094104 (2005).

Artikel ADS Google Scholar

Dingreville, R., Qu, J. & Cherkaoui, M. Freie Oberflächenenergie und ihre Auswirkung auf das elastische Verhalten von Partikeln, Drähten und Filmen in Nanogröße. J. Mech. Physik. Solids 53(8), 1827–1854 (2005).

Artikel ADS CAS MATH Google Scholar

Zhao, XJ & Rajapakse, RKND Analytische Lösungen für eine oberflächenbeladene isotrope elastische Schicht mit Oberflächenenergieeffekten. Int. J. Eng. Wissenschaft. 47(11), 1433–1444 (2009).

Artikel MATH Google Scholar

Intarit, P., Senjuntichai, T., Rungamornrat, J. & Rajapakse, RKND Oberflächenelastizität und Eigenspannungseffekt auf das elastische Feld einer nanoskaligen elastischen Schicht. Interagieren. Mehrskaliger Mech. 4(2), 85–105 (2011).

Artikel Google Scholar

Zhao, XJ & Rajapakse, RKND Elastisches Feld eines Nanofilms unter tangentialer Oberflächenlast: Asymmetrisches Problem. EUR. J. Mech. A. Solids 39, 69–75 (2013).

Artikel ADS MATH Google Scholar

Rungamornrat, J., Tuttipongsawat, P. & Senjuntichai, T. Elastische Schicht unter axialsymmetrischen Oberflächenlasten und Einfluss von Oberflächenspannungen. Appl. Mathematik. Modell. 40(2), 1532–1553 (2016).

Artikel MATH Google Scholar

Wang, GF & Feng, XQ Auswirkungen von Oberflächenspannungen auf Kontaktprobleme im Nanomaßstab. J. Appl. Physik. 101(1), 013510 (2007).

Artikel ADS Google Scholar

Pinyochotiwong, Y., Rungamornrat, J. & Senjuntichai, T. Starre, reibungsfreie Einkerbung im elastischen Halbraum unter Einfluss von Oberflächenspannungen. Int. J. Eng. Wissenschaft. 71, 15–35 (2013).

Artikel MATH Google Scholar

Jia, N., Yao, Y., Yang, Y. & Chen, S. Analyse zweidimensionaler Kontaktprobleme unter Berücksichtigung des Oberflächeneffekts. Int. J. Feststoffstruktur. 125, 172–183 (2017).

Artikel Google Scholar

Intarit, P.-I., Senjuntichai, T. & Rungamornrat, J. Elastische Schicht unter achsensymmetrischer Einkerbung und Oberflächenenergieeffekten. Z. Angew. Mathematik. Physik. 69(2), 29 (2018).

Artikel MATH Google Scholar

Tirapat, S., Senjuntichai, T., Rungamornrat, J. & Rajapakse, RKND Einkerbung einer Nanoschicht auf einem Substrat durch einen starren Zylinder in Klebekontakt. Acta Mech. 231(8), 3235–3246 (2020).

Artikel MATH Google Scholar

Wang, Y., Zhang, B., Zhang, X., Liu, J. & Shen, H. Zweidimensionale Reibkontaktanalyse unter Berücksichtigung von Oberflächeneffekten. Int. J. Feststoffstruktur. 170, 68–81 (2019).

Artikel CAS Google Scholar

Zhang, X. et al. Kontakt mit einem funktionell abgestuften elastischen Dünnfilm unter Berücksichtigung von Oberflächeneffekten. Int. J. Feststoffstruktur. 150, 184–196 (2018).

Artikel Google Scholar

Zhang, X., Wang, Z., Shen, H. & Wang, QJ Reibungskontakt mit einem multiferroischen Dünnfilm, der magnetoelektroelastischen Oberflächeneffekten ausgesetzt ist. Int. J. Mech. Wissenschaft. 131, 633–648 (2017).

Artikel Google Scholar

Le, TM, Lawongkerd, J., Bui, TQ, Limkatanyu, S. & Rungamornrat, J. Elastische Reaktion einer oberflächenbelasteten Halbebene mit Einfluss von Oberflächen- und Paarspannungen. Appl. Mathematik. Modell. 91, 892–912 (2021).

Artikel MATH Google Scholar

Le, TM, Wongviboonsin, W., Lawongkerd, J., Bui, TQ & Rungamornrat, J. Einfluss von Oberflächen- und Paarspannungen auf die Reaktion des elastischen Substrats unter geneigtem flachem Eindringkörper. Appl. Mathematik. Modell. 104, 644–665 (2022).

Artikel MATH Google Scholar

Lawongkerd, J., Le, TM, Keawsawasvong, S., Intarit, PI, Limkatanyu, S. & Rungamornrat, J. Elastische Lösungen eines achsensymmetrisch belasteten Halbraums mit Oberflächen- und Paarspannungseffekten. in Mechanik fortgeschrittener Materialien und Strukturen. 1–21 (2022).

Ejike, UB Das Problem des ebenen kreisförmigen Risses in der linearisierten Paarspannungstheorie. Int. J. Eng. Wissenschaft. 7(9), 947–961 (1969).

Artikel MATH Google Scholar

Dhaliwal, RS Das achsensymmetrische Boussinesq-Problem für einen Halbraum in der Paarspannungstheorie. Int. J. Eng. Wissenschaft. 11(11), 1161–1174 (1973).

Artikel MATH Google Scholar

Sneddon, IN Fourier-Transformationen (McGraw-Hill, 1951).

MATH Google Scholar

Referenzen herunterladen

Dieses Forschungsprojekt wird vom National Research Council of Thailand (Grant No. NRCT5-RSA63001-17) und dem Thailand Research Fund (Grant No. RTA6280012) finanziert.

Abteilung für Bauingenieurwesen, Fakultät für Ingenieurwissenschaften, Thammasat School of Engineering, Thammasat-Universität, Pathumthani, 12120, Thailand

Jintara Lawongkerd & Suraparb Keawsawasvong

Kompetenzzentrum für angewandte Mechanik und Strukturen, Abteilung für Bauingenieurwesen, Fakultät für Ingenieurwissenschaften, Chulalongkorn-Universität, Bangkok, 10330, Thailand

Toan Minh Le, Wipavee Wongviboonsin und Jaroon Rungamornrat

Abteilung für Bau- und Umweltingenieurwesen, Fakultät für Ingenieurwissenschaften, Prince of Songkla University, Songkhla, 90112, Thailand

Suchart Limkatanyu

Fakultät für Bauingenieurwesen, Ho-Chi-Minh-Stadt-Universität für Technologie und Bildung, Ho-Chi-Minh-Stadt, 721400, Vietnam

Chung Nguyen Van

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JL: Software, Validierung, Untersuchung, Erstellung von Originalentwürfen; TML: Software, Untersuchung, Schreiben – Überprüfen und Bearbeiten; WW: Software, Recherche, Schreiben – Überprüfen und Bearbeiten; SK: Vorbereitung des schriftlichen Originalentwurfs; SL: Finanzierungsakquise, Konzeptualisierung, Schreiben, Überprüfen und Bearbeiten; CNV: Schreiben – Überprüfen und Bearbeiten; JR: Finanzierungseinwerbung, Konzeptualisierung, Methodik, Supervision, Schreiben – Überprüfen und Bearbeiten.

Korrespondenz mit Jaroon Rungamornrat.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Lawongkerd, J., Le, TM, Wongviboonsin, W. et al. Elastische Lösung einer oberflächenbelasteten Schicht mit Kopplungs- und Oberflächenspannungseffekten. Sci Rep 13, 1033 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27705-1

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Eingegangen: 24. August 2022

Angenommen: 06. Januar 2023

Veröffentlicht: 19. Januar 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-27705-1

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